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La belleza del número áureo

Imagina un rectángulo. Probablemente habrás imaginado algo de este estilo:

El rectángulo que un persona dibujaría guardaría proporciones áureas

La razón por la que creo que tu rectángulo imaginario tiene esa apariencia es porque el mío también la tiene, y si le pides a alguien que dibuje un rectángulo, lo hará también siguiendo ese patrón.

¿Y sabes por qué hemos imaginado todos ese rectángulo? Las matemáticas (como casi siempre) tienen la respuesta.

Tal vez hayas oído o leído sobre el número áureo, o algunas de sus variantes: número de oro, proporción áurea, proporción divina,…

Si no sabes a qué me refiero, te presento a phi φ, y este número no es más que Valor del número áureo: ø=(1+sqrt(5))/2~1,6180339...

Muy bonito pero…¿qué tiene que ver este número con nuestro rectángulo?

Si divides la longitud del lado mayor entre la longitud del lado menor…voilà, obtendrás una cifra cercana al número áureo. Y digo cercana, porque al final cuando dibujamos no somos perfectos.

La proporción áurea en una recta

Si dividieras un segmento en dos partes de forma que la razón entre la longitud total y la longitud de la parte mayor fuera igual que la razón entre esta última y la longitud de la parte menor, obtendrías nuestro número de oro.

Visualmente sería:

División de un segmento para obtener el número áureo. Longitud total/longitud mayor=longitud mayor/longitud menor= número áureo (phi)

Número áureo como razón de longitud total/logitud mayor/longitud mayor/longitud menor

El rectángulo áureo

El rectángulo anterior es áureo si sus lados están en proporción áurea, es decir, la razón de la longitud del lado mayor entre la longitud del lado menor da el número de oro.

Todo rectángulo áureo se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo áureo

Un rectángulo es áureo si al dividirlo en un cuadrado y un rectángulo, los lados del rectángulo resultante están en proporción áurea

Rectángulo áureo pues los lados del rectángulo mayor y el rectángulo resultante de dividir este en un cuadrado y un rectángulo guardan proporciones áureas

Si dividimos de manera recurrente cada rectángulo áureo en un cuadrado y otro rectángulo áureo al final obtendremos

División recurrente rectángulos áureos en cuadrados y rectángulos áureos para obtener la forma de espiral por la que se rige la naturaleza

División recurrente rectángulos áureos en cuadrados y rectángulos áureos para obtener la forma de espiral por la que se rige la naturaleza

que es el patrón que sigue la naturaleza cuando hace sus creaciones en forma de espiral.

Por cierto, ¿sabes cómo se llama el punto hacia el que converge la espiral? Pues se llama Ojo de Dios y coincide con la intersección de las diagonales de los rectángulos:

El ojo de Dios es la intersección de las diagonales de los rectángulos áureos contenidos unos dentro de otros.

¿Por qué las cosas son bellas?

La naturaleza está escrita con un lenguaje matemático. Por ejemplo, la disposición de los pétalos de una flor o la forma de una caracola.

De igual modo, los seres humanos guardamos proporciones áureas en todo nuestro cuerpo. Aquí tienes algunos ejemplos:

– la razón de tu altura total y la distancia del ombligo a la planta de los pies es el número áureo.

– las razones entre las longitudes de las falanges de los dedos.

– en la siguiente imagen puedes ver que el número áureo se esconde tras cada medida que hay en nuestra cara:

Imagen obtenida de www.nutridermovital.com. El gran misterio de la belleza siguiendo el método 0,7 – Proporción aurea

Es decir, aquellos objetos que guardan proporciones lo más próximas al número de oro son bellos a la vista del ojo humano.

¿Y tú, eres matemáticamente perfecto?

Si quieres saber un poco más puedes consultar aquí:

Donald en el país de las Matemáticas

El pato Donald en el país de las matemáticas (versión español latino)

Nutridermo. El gran misterio de la belleza siguiendo el método 0,7 – Proporción aurea

Amante del saber. La Proporción Áurea

Nos vemos la semana que viene.

¡Un mateabrazo!

7 mujeres matemáticas que debes conocer

Karen Uhlenbeck ha escrito una página muy importante en la historia de las matemáticas pues ha sido la primera mujer en recibir el Abel Prize, que para aquellos que no sepan qué es, es el «Nobel» de las matemáticas que otorga la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras.

El premio es un reconocimiento por «sus avances pioneros en ecuaciones en derivadas parciales geométricas, teorías gauge y sistemas integrales, y por el impacto fundamental de su trabajo en análisis, geometría y física matemática».

Como Uhlenbeck, ha habido muchas mujeres matemáticas que han sabido abrirse camino en una sociedad en la que ser mujer unas veces es difícil y otras complicado.

Teano de Crotona (546 aC – desconocido)

Es la gran desconocida de las mujeres matemáticas. Fue un miembro de la Escuela Pitagórica, donde conoció al que posteriormente sería su marido, Pitágoras.

Realizó valiosas aportaciones relacionadas con los números y la geometría. A ella se le atribuye el teorema matemático de la “proporción áurea”.

Tras la muerte de Pitágoras, tomó los mandos de la Escuela Pitagórica.

Hipatia (350 o 370 – 415)

Además de las matemáticas, mostró interés por la astronomía influenciada por su padre, el filósofo y matemático Teón de Alejandría.

Murió asesinada por a manos de un grupo de cristianos fanáticos que la lincharon porque creían que era una hechicera que estaba influenciando a la clase política y científica.

Sophie Germain (1776–1831)

En plena Revolución Francesa (1789-1799), sus inicios en las matemáticas fueron autodidactas. Posteriormente accedió a estudios superiores haciéndose pasar por un estudiante varón.

Fue así como conoció a Lagrange, que la introdujo en la sociedad matemática del momento. Años más tarde conoció a Gauss, con el que mantuvo correspondencia con bastante frecuencia.

Es conocida por contribuir en el proceso de la demostración del último teorema de Fermat, conjeturado en 1637 pero sin demostrar hasta 1995 por Andrew Wiles con la ayuda de Richard Taylor.

Fue la primer mujer en recibir un premio de la Academia de las Ciencias de Paris. Actualmente, la dicha Academia concede un premio que lleva su nombre, el Premio Sophie Germain.

Ada Lovelace (1815-1852)

Respaldada por su madre, Ada recibió una buena educación en matemáticas y ciencias.

Siendo una adolescente conoció a Charles Babbage (conocido como el «Padre de la computación»).

A día de hoy se la considera la primera programadora pues desarrolló sus conocimientos matemáticos hasta crear el primer programa informático que calculaba una secuencia de los números de Bernoulli.

Florence Nightingale (1820-1910)

Florence fue una enfermera que cuidó a los enfermos de la guerra de Crimea. Durante ese tiempo elaboró una serie de estadísticas que mostraban que los soldados morían más por las condiciones hospitalarias que por las propias heridas de guerra.

La manera en que presentó sus estudios fue revolucionaria siendo de fácil comprensión para los políticos de la época.

Su trabajo fue tan útil que los billetes de 10 libras llevaron su imagen durante casi 20 años.

Emmy Noether (1882-1935)

Su padre, el matemático Max Noether le transmitió su pasión por las matemáticas, el cual pudo desarrollar tras realizar los estudios típicos de la época para mujeres (música, danza, labores del hogar…).

Estudió en la universidad de Erlangen y posteriormente en la de Gotinga bajo permiso expreso de los profesores pues en aquella época las mujeres no podían acceder a estudios superiores.

Posteriormente dio clases en la universidad de Gotinga de manera no oficial por ser mujer. Lo haría bajo el nombre de su amigo y compañero David Hilbert (conocido por sus estudios en la teoría de la relatividad junto a Einstein).

Albert Einstein dijo de ella que fue “el genio matemático creativo más significativo producido hasta ahora desde que comenzó la educación superior de las mujeres.”

Maryam Mirzakhani (1977-2017)

Maryam fue la primera mujer en recibir la medalla Fields, algo así como el Nobel para matemáticas que concede la Unión Matemática Internacional.

Es considerada una de las más grandes matemáticas de la época actual por sus estudios en geometría.

¿Quieres saber más sobre mujeres matemáticas?

Puedes consultarlo aquí:

Mathscareers. Five famous female mathematicians

Smithsonian. Five Historic Female Mathematicians You Should Know

Universidad de Murcia. IES «Ortega y Rubio». Mujeres matemáticas

Quo.10 Expertas en matemáticas que pasaron a las historia

A todo Gauss. Teano de crotona la gran desconocida

Nos vemos la semana que viene por aquí.

Un mateabrazo

π, más allá de la circunferencia

El pasado jueves fue 14 de marzo (en EEUU se emplea la nomenclatura 3/14) y fue el día del número Pi.

Número pi π con su desarrollo decimal de fondo

¿Qué es π?

π es la relación que hay entre la longitud de una circunferencia y su diámetro; es decir: pi (π) expresado como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro

Truncado el valor de π a dos decimales siendo dicho valor 3,14 se puede concluir que la longitud de una circunferencia es algo más de tres veces el valor de su diámetro.

Nueve curiosidades que no sabías de π

1. El nombre de «pi» tiene su origen en la palabra griega periphereia, que significa perímetro.

2. El 14 de marzo fue el día del nacimiento de Albert Einstein (1879-1955)

3. También fue el día en que falleció Stephen Hawking (1942-2018)

4. El físico Larry Shawn fue el que comenzó celebrando el Día de Pi (PiDay) debido a la nomenclatura estadounidense para dicho día (3/14).

5. En EEUU celebran este día comiendo tartas (en inglés, pie) pues su pronunciación es la misma que la de π

6. El pilish, juego de palabras entre «pi» e «english», es un estilo de escritura en el que, de manera consecutiva, cada palabra tiene el mismo número de letras que los dígitos del número π.

7. Si eres tan fan de Los Simpsons como yo, has de saber que en el episodio «Bye Bye Nerdie», para llamar la atención en una convención de científicos, el profesor Frink grita «¡π es 3 exactamente!».

Puedes ver la escena del capítulo aquí.

8. Además del Día de Pi, existen los días de Aproximación a Pi. Estos días son:

– 22 de julio pues la fracción 22/7= 3,1428.

– 26 de abril (o 25 de abril para los años bisiestos), pues la Tierra hace dos unidades astronómicas de su órbita anual. La longitud total de la órbita dividida entre la longitud recorrida en esas dos unidades astronómicas es igual a π.

– 10 de noviembre (o 9 de noviembre, si el año es bisiesto), pues es el día número 314 del año.

9. Hasta la fecha se conocen 22 billones de cifras decimales de π y esta cifra sigue creciendo día a día.

¿Conoces alguna curiosidad más para añadir a la lista? Déjamela en los comentarios.

Nos vemos la semana que viene.

¡Un mateabrazo!

Principio del palomar: en Madrid al menos dos personas tienen el mismo número de pelos

Antes de abordar la explicación necesito que entiendas qué es el principio del palomar

Palomas en un palomar
Imagen por TiBine en Pixabay

Principio del palomar

Si tenemos n palomas y queremos guardarlas en m palomares, con m < n, al menos en un palomar habrá dos palomas.

Con este ejemplo lo entenderás mejor:

Al lanzar un dado 7 veces, un resultado se repite al menos una vez.

La afirmación anterior es obvia pues si de primeras no se repitieran los resultados tendrías 1, 2, 3, 4, 5, 6 y ¿?. Este último número tendría que ser alguno de los anteriores pues en un dado no hay más opciones.

Razonándolo mediante el principio del palomar, los posibles resultados serían los palomares y las 7 tiradas las palomas. Como hay más palomas (tiradas) que palomares (posibles resultados), al menos dos palomas estarán en el mismo palomar (al menos dos tiradas estarán en el mismo resultado).

Por qué en la ciudad de Madrid hay al menos dos personas con el mismo número de pelos

Avatares de gente que representan los habitantes de Madrid
AnnaliseArt

No, no me he vuelto loca ni voy a pedirte que te pongas a contar pelos. Ahí va la explicación:

Una persona tiene unos 150.000 a lo máximo, así que para no quedarnos cortos, vamos a poner como máximo 300.000 pelos.

En la ciudad de Madrid viven algo más de 6.500.000 personas.

Si identificamos a los madrileños con las palomas y el posible número de pelos con los palomares, tenemos muuuuuuchas más palomas que palomares, por lo que en al menos un palomar habrá dos palomas; es decir, habrá al menos dos personas con el mismo número de pelos.

Te reto

¿Sabrías decirme a cuántas personas necesitas preguntar para conseguir al menos dos que hayan nacido en el mismo mes?

¿O sin mirar al menos cuántos calcetines tienes que coger de un montón en el que hay blancos, negros y grises para poder ponerte un par del mismo color?

Déjame tu respuesta en los comentarios.

Nos vemos por aquí la semana que viene.

¡Un mateabrazo!

Un poco de trigo y un tablero de ajedrez

Piezas de ajedrez

La leyenda

Cuenta la leyenda que el rey Shirham de la India le ofreció lo que quisiera a Sissa ben Dahir por haber creado el juego del ajedrez.

Tras pensarlo detenidamente, Sissa cogió el tablero de ajedrez y le contestó lo siguiente:

«Majestad, estaría agradecido si me diera un grano de trigo por la primera casilla, dos granos de trigos por la segunda casilla, cuatro granos de trigo por la tercera casilla, 8 granos de trigo por la cuarta casilla, y así sucesivamente hasta completar el tablero.»

El rey, no daba crédito por tan ridícula recompensa sintiéndose ofendido por creer que Sissa subestimaba su riqueza.

Inmediatamente mandó a los matemáticos de la corte que calcularan la cantidad de trigo a entregar.

Cual fue su sorpresa cuando vio que tardaban mucho más de lo esperado y Sissa no recibía su saco de trigo.

Fue entonces cuando mandó llamar al más sabio de los matemáticos para ver qué ocurría y, tras una semana de cálculos, este le contestó que la cantidad de trigo a entregar superaba con creces las riquezas de todo el reino.

El rey Shirham, teniendo que cumplir con su palabra le entregó el reino convirtiéndose Sissa en el nuevo rey.

Explicación matemática

Para entender cómo el rey perdió su fortuna y su reino, necesitas hacer uso de las matemáticas.

Un tablero de ajedrez tiene 64 casillas, si listamos los granos que debe haber en cada casilla tenemos 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …Como puedes observar, es una progresión geométrica cuyo primer término vale a1=1 y de razón r=2.

Cada uno de los términos puede ser escrito como una potencia de 2:

20, 21, 22, 23, 24, … y así hasta 263.

Para calcular la cantidad total de los granos de trigo basta con calcular la suma de los primeros 64 términos (un término por casilla del tablero) de la progresión geométrica anteriormente descrita:

Suma de los 64 primeros términos de la progresión geométrica de razón 2 y primer término 1

¡Eso son más de 18 trillones de granos de trigo!

Según agrovoz, 100 semillas de trigo pesan entre 30 y 40 gramos luego los más de 18 trillones de trigo pesan entre 553.402.322.211 (18.446.744.073.709.551.615:1000·30:1000000) y 737.869.762.948 (18.446.744.073.709.551.615:1000·40:1000000) toneladas.

La producción total del 2017 fue de 771.718.579 toneladas de trigo según la FAO; es decir, se necesitarían unas mil producciones como las del año 2017 a nivel mundial para que el rey Shirham saldara su deuda con Sissa.

¿Podrías calcular la cantidad que habría que entregarle a Sissa si el tablero de ajedrez fuera de 5×5?

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA VIDA DIARIA: OFERTAS 2×1 ENGAÑOSAS

Las matemáticas están presentes en mi vida diaria…y en la tuya. Aquí va mi historia de hoy:

El otro día fui al supermercado porque necesitaba comprar detergente de la ropa.

Por si no lo sabes, ahora mismo vivo en Taiwán y aquí es frecuente encontrar ofertas del tipo «Compra 1, llévate 1 gratis», es decir un 2×1.

Vi esta oferta de un mismo detergente ecológico pero en dos formatos distintos:

Estantería de supermercado con los dos formatos de detergente

Los taiwaneses suelen comprar una botella y luego las bolsas de rellenar porque es más económica esta segunda opción y daña menos el medioambiente.

Mi mente matemática no me permite comprar una oferta sin calcular si realmente es una oferta o no. Y esta vez no iba a ser menos.

El detergente en bolsa

Detergente en bolsa

Una bolsa de 1500gr costaba 165 dólares (y de regalo otra bolsa). Para calcular lo que cuesta 1kg de dicho detergente por reducción a la unidad:

Cálculo del precio de 1kg de detergente por reducción a la unidad

(si no sabes cómo hacerlo, te recomiendo que revises los ejercicios de proporcionalidad)

Así que 1kg del detergente de bolsa costaba 110 dólares.

El detergente en botella

Detergente en botella

Una botella de 2000gr costaba 218 dólares (y otra botella de regalo). Para calcular lo que cuesta 1kg de dicho detergente lo más fácil es dividir directamente entre 2:

Regla de 3 para calcular el precio de 1kg de detergente en bolsa

Así que 1kg del detergente de botella costaba 109 dólares.

La diferencia de precio es prácticamente inexistente pero el detergente de botella es mucho más cómodo que la bolsa.

Lo que aparentemente era más barato (165 dólares contra 218 dólares) resultó ser más caro (110 dólares el kilogramo frente a 109 dólares).

La estrategia de marketing del supermercado o de la marca de detergente no funcionó conmigo, pero ¿a cuántos clientes habrán podido engañar?

¿Te ha pasado alguna vez algo similar? Déjame tu opinión en los comentarios.

Nos vemos la semana que viene con una leyenda que cuenta cómo a partir de un grano de trigo y sobre un tablero de ajedrez, un rey perdió toda su fortuna.

San Valentín y las matemáticas

¡Feliz San Valentín matemático!

San Valentín matemático. Amor con funciones matemáticas

Las matemáticas no se podían quedar atrás en un día tan especial como es el día de San Valentín.

Aunque no soy de celebrar este día en pareja, creo que es importante agradecer a todos los que queremos que estén siempre con nosotros.

La historia (o leyenda) de San Valentín

En el siglo III, el emperador de Roma Claudio II declaró prohibido contraer matrimonio. Creía que los solteros eran mejores soldados que aquellos que tenían mujer e hijos.

Pareciéndole injusto a un sacerdote llamado Valentín, decidió oficiar dichos matrimonios en secreto hasta que el emperador se enteró y mandó capturarlo.

El 14 de febrero del año 270, el sacerdote fue ejecutado convirtiéndose esa fecha en el día de los enamorados.

San Valentín en nuestra sociedad actual

Con la revolución industrial se empezaron a producir en serie tarjetas de agradecimiento y muestras de amor por lo que fue fácil que se pusiera de moda hacer dichos regalos por San Valentín.

Hoy en día, bombardeados por el consumismo, parece casi obligatorio tener que hacer un regalo a esa persona que amamos.

Como yo no soy muy partidaria de ese tipo de consumismo, te animo a que mandes un WhatsApp, un email o por qué no, cara a cara, y que le trasmitas a la gente que quieres simplemente eso, que les quieres.

Las matemáticas y el amor

Y para este día, he preparado el mensaje que voy a enviar a mis seres queridos. Lo he hecho con la versión online de Geogebra y he hecho una captura de pantalla completa para que puedas ver las funciones que he empleado:

San Valentín matemático. All ypu need is love

Pero enviar el mensaje con las funciones no me parecía muy estético, así que hice esta otra presentación:

Felicitación de san Valentín formato para WhatsApp

Al final, después de una mañana de trabajo, el resultado final no me convenció y envié la foto del clásico «love» con la que inicié la entrada de hoy.

Nos vemos la semana que viene por aquí que os tengo que contar lo que me pasó el otro día en el supermercado haciendo la compra. Mientras tanto, no os olvidéis ver los vídeos que voy subiendo.