📍 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO [Una rubia matemática]

En el álgebra, las ecuaciones de segundo grado son muy similares a las ecuaciones de primer grado con la diferencia que en este caso la variable está elevada al cuadrado.

ÍNDICE

1. Qué es una ecuación de segundo grado
2. Tipos de ecuaciones de segundo grado
- 2.1. Ecuación de segundo grado completa
- 2.2. Ecuación de segundo grado incompleta
3. Resolución de un ecuación de segundo grado
- 3.1. Resolución de una ecuación de segundo grado completa
- 3.2. Resolución de una ecuación de segundo grado incompleta
4. Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado

Qué es una ecuación de segundo grado

La forma general de una ecuación de segundo grado es: , donde a, b y c son números reales.

Ten en cuenta que a no puede valer 0 porque sino tendrías una ecuación de primer grado. Es decir .

▪ Ejemplo:

es una ecuación de segundo grado pues la variable está elevada al cuadrado.

Tipos de ecuaciones de segundo grado

Hemos visto que a tiene que ser distinto de 0, a≠0; sin embargo b y c sí que pueden valer 0. De esta forma obtendrías una ecuación de segundo grado incompleta.

Ecuaciones de segundo grado completas

Las ecuaciones de segundo grado completas son aquellas en las que a, b y c son distintos de 0, a≠0, b≠0, c≠0.

▪ Ejemplo:

son ecuaciones de segundo grado completas pues a≠0, b≠0 y c≠0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ecuaciones de segundo grado incompletas; cuando b=0

Cuando b vale 0, b=0, en la ecuación no hay término con x:

▪ Ejemplo:

son ecuaciones de segundo grado con b=0 pues no hay término en x.

Ecuaciones de segundo grado incompletas; cuando c=0

Cuando c vale 0, c=0, en la ecuación no hay término independiente:

▪ Ejemplo:

son ecuaciones de segundo grado con c=0 pues no hay término independiente.

Ecuaciones de segundo grado incompletas; cuando b=0 y c=0

Cuando b y c ambas valen 0, b=0, c=0, en la ecuación no hay término en x ni término independiente:

▪ Ejemplo:

son ecuaciones de segundo grado con b=0 y c=0 pues no hay término en x ni término independiente.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Una ecuación de segundo grado completa se resuelve mediante la fórmula:

Observa que en la fórmula anterior aparece el signo $Signo ± en la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado$ , lo que hace que calcules dos soluciones : una con el signo + y la otra con el signo -.

▪ Ejemplo:

La primera ecuación del ejemplo se resolvería así:

Resolución de una ecuación de segundo grado completa mediante la fórmula

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas; cuando b=0. Despejar x

Una ecuación de segundo grado incompleta en la que b=0, es decir, aquella que no tiene término con x se resuelve despejando la variable como si fuera una ecuación de primer grado con la diferencia de que en el último paso, el cuadrado que afecta a la variable, pasa al otro lado haciendo la operación contraria que es la raíz cuadrada, y de ahí se obtienen dos soluciones, una positiva y otra negativa.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas despejando la variable y haciendo raíz cuadrada

▪ Ejemplo:

La primera ecuación del ejemplo resuelta quedaría:

Resolución de una ecuación de segundo grado incompleta despejando la variable. No tiene solución pues al final queda una raíz de un número negativo
Observa que esta ecuación no tiene solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no existe

▪ Ejemplo:

La resolución de la segunda ecuación del ejemplo sería:

Resolución de una ecuación de segundo grado incompleta despejando la variable

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas; cuando c=0: Sacar factor común

Una ecuación de segundo grado incompleta en la que c=0, es decir, aquella que no tiene término independiente se resuelve sacando factor común a la variable. Como consecuencia, obtendrás un producto cuyo resultado es 0.

Un producto de factores es 0 si y sólo si al menos uno de los dos factores es 0. Por lo tanto, tienes que igualar cada uno de los factores a 0 y resolver las ecuaciones que obtengas, que en este caso, serán de grado 1.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas mediante extracción de factor común

Recuerda que el producto de dos factores es 0 cuando al menos uno de los dos es 0.

▪ Ejemplo:

La resolución de la primera ecuación del ejemplo que vimos anteriormente sería:

Ejemplo de cómo resolver una ecuación de segundo grado incompleta cuando no hay término independiente. Extraer factor común

▪ Ejemplo:

Y la resolución de la segunda ecuación del ejemplo sería:

Ejemplo de cómo resolver una ecuación de segundo grado incompleta cuando no hay término independiente. Sacar factor común

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas; cuando b=0 y c=0

Una ecuación de segundo grado incompleta en la que b=0 y c=0, es decir, aquella que solo tiene el término de la variable al cuadrado tiene como única solución 0. Como las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, se dice que la solución es doble.