ECUACIONES EXPONENCIALES

El álgebra estudia la resolución de muchos tipos de ecuaciones entre las cuales están las ecuaciones exponenciales, que son aquellas que tienen potencias en cuyo exponente aparece la incógnita.

Qué es una ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es una ecuación con una o varias potencias en las que la variable aparece sólo en los exponentes.

Ejemplo:

La ecuación exponencial más sencilla es del tipo ax=b, como por ejemplo 2x=8.

Un poco más complejas serían las ecuaciones exponenciales: Ejemplos de ecuaciones exponenciales en las que aparecen potencias cuyos exponentes contienen la incógnita

Resolución de ecuaciones exponenciales

Igualación de bases

Para resolver este tipo de ecuaciones lo que tienes que hacer es operar ambos lados de la ecuación hasta obtener una potencia a cada lado con la condición de que ambas tienen que tener la misma base.

¿Y por qué tienes que llegar hasta esa igualdad? Pues sencillo: De dos potencias que son iguales y que tienen la misma base, puedes concluir que los exponentes son iguales:

De dos potencias que son iguales y que tienen la misma base, puedes concluir que los exponentes son iguales

Llegado a este punto lo que tienes es una ecuación mucho más sencilla de resolver.

¿Lo vemos con un ejemplo?

Ejemplo:

Resolución de la ecuación exponencial 2^3=8 mediante igualación de potencias con la misma base

Aunque los ejercicios se suelen complicar un poco más, como en el ejercicio 3, en el que debes hacer un cambio de variable.

Cambio de variable

Puede sonar complicado, pero el cambio es mecánico: la base más sencilla que aparezca en la ecuación, elevada a la variable.

Ejemplo:

En el ejercicio 3, el cambio sería u=7x.

¿Y qué ocurre con 71+2x?

Aplicando las propiedades de las potencias, Ecuaciones exponenciales. Cambio de variable cuando en el exponente hay una suma y se transforma en un producto de potencias

¿Quieres saber cómo termina el ejercicio? Pues haz click aquí.

¡OJO!Recuerda deshacer el cambio de variable, pues hasta ahora has obtenido la solución del cambio de variable pero no la de la ecuación original.

Ejemplo:

Siguiendo con el ejercicio anterior, una de las soluciones es 1/7. Para calcular el valor de la solución de la ecuación exponencial tendrías que deshacer el cambio:

Ecuaciones exponenciales: cómo deshacer el cambio de variable para obtener la solución de la ecuación original

Otras veces te podrás encontrar con ecuaciones exponenciales en las que aparentemente las bases no son iguales como en el ejercicio 2. Y digo aparentemente porque por medio de las propiedades de las potencias podrás conseguir que sean iguales.

Ejemplo:

Al observar el enunciado del ejercicio 2, aparecen dos potencias 8x+1 y 23x-1. Si buscamos la potencia más pequeña, la base debe ser 2 pues 8=23, así que el cambio sería u=2x y las potencias transformadas serían:

Y si quieres saber cómo termina el ejercicio, sólo tienes que hacer click aquí.

Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales. Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

Resuelve la ecuación exponencial 2^x+2^(1-x)=3

Ecuaciones exponenciales. Ejercicio 2

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la ecuación exponencial 8^(x+1)+2(3x-1)=17/16

Ecuaciones exponenciales. Ejercicio 3

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

Resuelve la ecuación exponencial 7^(1+2x)-50* 7^(x)+7=0



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