📍 FRACCIONES ALGEBRAICAS [Una rubia matemática]

La combinación de fracciones junto con expresiones algebraicas da lugar a las fracciones algebraicas

ÍNDICE

1. Qué es una fracción algebraica
2. Operaciones con fracciones algebraica

Qué es una fracción algebraica

Una fracción algebraica es una expresión del tipo $Una fracción algebraica es una expresión del tipo P(x)/Q(x) con Q(x) distinto de 0$ , donde P(x) y Q(x) son polinomios y .

▪ Ejemplo:

$Ejemplos de fracciones algebraicas en las que el numerador y el denominador son polinomios y el denominador es distinto de cero$ son algunos ejemplos de fracciones algebraicas.

Operaciones con fracciones algebraicas

La manera de operar con fracciones que tienen expresiones algebraicas es muy similar a la de trabajar con fracciones. La diferencia es que mientras antes sólo trabajabas con números, ahora lo tendrás que hacer con expresiones algebraicas.

Suma o adición de fracciones algebraicas

Para sumar fracciones algebraicas los denominadores han de ser iguales. El resultado será una fracción cuyo denominador no varía y cuyo numerador es la suma de los numeradores:

$Suma de fracciones algebraicas: se suman los numeradores, el denominador se queda igual$

▪ Ejemplo:

$Ejemplo de suma de fracciones algebraicas donde el denominador no varía y el numerador es la suma de los numeradores$

En caso de que los denominadores no sean iguales, deberás hacer denominador común (como en el ejercicio 2).

Resta o sustracción de fracciones algebraicas

Al igual que en la suma, para restar fracciones algebraicas los denominadores han de ser iguales. El resultado será una fracción cuyo denominador se mantiene y cuyo numerador es la resta de los numeradores:

$Suma de fracciones algebraicas: se suman los numeradores, el denominador se queda igual$

▪ Ejemplo:

$Ejemplo de resta de fracciones algebraicas donde el denominador no varía y el numerador es la resta de los numeradores$

En caso de que los denominadores no sean iguales, deberás hacer denominador común (como en el ejercicio 2).

Multiplicación o producto de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas deberás hacerlo en línea; es decir:

$Para multiplicar fracciones algebraicas se hace en línea: el numerador es el producto de numeradores y el denominador es el producto de los denominadores$

▪ Ejemplo:

$Ejemplo de multiplicación o producto de fracciones algebraicas donde se multiplica en línea: numerador por numerador, denominador por denominador$

División o cociente de fracciones algebraicas

Sin embargo si lo que quieres es dividir fracciones algebraicas deberás hacerlo en cruz; es decir:

$Para dividir fracciones algebraicas se hace en cruz$

▪ Ejemplo:

$Ejemplo de división o cociente de fracciones algebraicas donde se multiplica en cruz: numerador por denominador, denominador por numerador$

Simplificar fracciones algebraicas. Fracciones irreducibles

Para simplificar una fracciòn algebraica tienes que factorizar los polinomios del numerador y denominador, comprobar si ambos tienen un factor común y si se diera el caso, suprimir el mismo factor en ambos lugares.

▪ Ejemplo:

De este modo, obtienes una fracción equivalente más sencilla que la original.

A las fracciones que no se pueden simplificar más, se las llama fracciones irreducibles.

Una fracción algebraica irreducible es aquella cuyo mínimo común múltiplo del numerador y el denominador es 1, es decir, no tienen ningún factor en común.

Factorización de expresiones algebraicas

Este último apartado puede tener algo más de dificultad pues factorizar expresiones algebraicas es un poco más complejo que factorizar números pero si sigues estos pasos, no te costará tanto.

Normalmente tendrás que factorizar polinomios con una sola variable, x, aunque los pasos pueden aplicarse a cualquier otra variable o a varias (aunque con más de una variable la dificultad puede incrementar bastante).

A partir de aquí trabajaremos con polinomios por simplicidad.

1.- Saca factor común a los números y a las letras, por ejemplo: 4x-2=2(x-1) ó x³-3x=x(x²-3)

2.- Comprueba si hay identidades notables para factorizar. Por ejemplo: x²-1=(x+1)(x-1) ó x²-2x+1=(x+1)²

3.- Aplica la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de grado 2. Ahora, puedes seguir haciendo Ruffini o igualar a 0 y resolver la ecuación de segundo grado. (Las soluciones de la ecuación, son raíces del polinomio)

4.- Una vez tengas todas las raíces obtenidas en el punto 3, para factorizar el polinomio tienes que escribir (x-raíz)(x-raíz)…(x-raíz)

▪ Ejemplo:

Vamos a factorizar el polinomio:

Sacamos factor común a 2 y a x³ en un mismo paso:

Sacamos factor común a 2x^3 pues lo tienen todos los términos

Aplicamos la regla de Ruffini para sacar raíces del polinomio:

Hacemos Ruffini para sacar las raíces de un polinomio de grado mayor que 2

Llegados a este punto puedes elegir seguir haciendo Ruffini o escribir la ecuación de segundo grado asociada y resolverla. Esta vez, yo he decidido hacerlo de la segunda forma y así repasamos cómo se resuelven las ecuaciones de este tipo.

Transformamos en una ecuación de 2º grado y resolvemos:

Resolvemos la ecuación de segundo grado para sacar las raíces