El teorema del resto y el teorema del factor son dos teoremas dentro del álgebra estrechamente relacionados con la divisibilidad de polinomios.
ÍNDICE
División de polinomios. Cómo se dividen dos polinomios
Para entender cómo se realiza una división de polinomios lo mejor es verlo con un ejemplo.
Vamos a resolver la división de P(x)=x5+2x4-3x2-6x entre x3-3:
1.- Tienes que dividir x5 entre x3 que da x2. Posteriormente tienes que multiplicar x2 por x3-3 y colocarlo debajo la x correspondiente:
2.- Luego realiza la resta:
3.- Ahora divides 2x4 entre x3 que da 2x y multiplicas ese 2x que has obtenido por x3-3 colocándolo de nuevo donde corresponda:
4.- Y por último, realiza la resta:
Divisibilidad de polinomios
Aunque pueda parecerte algo complejo, el concepto de divisibilidad de polinomios es muy similar al de divisibilidad de números, es decir, un polinomio es divisible por otro polinomio cuando la división es exacta, o lo que es lo mismo, cuando el resto vale 0.
En el ejemplo anterior, el resto da 0 luego puedes concluir que el polinomio P(x)=x5+2x4-3x2-6x es divisible entre x3-3 o lo que es lo mismo, que la división es exacta.
Teorema del resto
La demostración es muy sencilla. Se parte de la regla de la división:
Aplicado a un polinomio P(x) y al binomio (x-a) se tiene:
Como el resto siempre tiene al menos un grado menos que el divisor y en este caso el divisor tiene grado 1, el resto tiene que tener grado 0, es decir, ser un número (sin x):
Sustituyendo x por a:
Y como no todo es teoría, aquí tienes un par de ejemplos. Presta especial atención al segundo ejemplo:
Calcula el resto de dividir P(x)= 3x4-5x3-4x+1 entre x-2:
Calcula el resto de dividir P(x)= 3x4-5x3-4x+1 entre x+1:
Observa que (x-1)=(x-(-1)) y por eso tienes que calcular P(-1)
Teorema del factor
El teorema del factor es una consecuencia del teorema del resto pues por este último sabes que el resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es P(a) y por otro lado, la definición de divisibilidad dice que si P(x) es divisible entre x-a el resto da 0, luego:
Y por último, llevando a la práctica lo aprendido:
x+2 no es un factor de P(x)= 2x4-3x+1
x-1 es un factor de P(x)= 2x4-3x+1
Ejercicios y problemas resueltos del teorema del resto y del teorema del factor
Teorema del resto y teorema del factor. Ejercicio 1
Averigua el resto de las siguientes divisiones sin realizarlas.
Teorema del resto y teorema del factor. Ejercicio 2
Sin hacer las divisiones:
a) ¿es 
divisible entre 
?
b) ¿es 
divisible entre 
?
Teorema del resto y teorema del factor. Ejercicio 3
Halla el valor de m, para que 
sea un cero del polinomio 
Teorema del resto y teorema del factor. Ejercicio 4
Calcula un polinomio de segundo grado de termino independiente nulo, sabiendo que es divisible por (x-1) y que al dividirlo por (x+1) su resto da 4.
Teorema del resto y teorema del factor. Ejercicio 5
Calcula un polinomio de tercer grado de coeficiente principal 1 y término independiente 2, que sea divisible por (x+1) y que al dividirlo por (x +2) su resto de 4.
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