FUNCIONES LINEALES

Las funciones lineales son el tipo de funciones más sencillas que existen.

Pero antes de nada, ¿qué es una función?

Imagina que tienes una granja de vacas que dan leche. Y además de tu granja tienes una fábrica con diversas máquinas: al meter leche en una de ellas da queso, otra da mantequilla y otra transforma la leche en nata.

Tus máquinas son funciones en las que cada una transforma la leche en diferentes productos. Así tendrías las funciones queso, mantequilla y nata.

Si lo llevamos a las matemáticas, una función es una herramienta que transforma unos números en otros.

¿Y cómo saber qué transformación hace cada máquina?

Cuando desconocemos un número, lo solemos designar por la letra x, así pues nosotros trabajaremos con esta letra.

Vamos a ver varios ejemplos para que lo entiendas mejor:

▪ Ejemplo:

a) La función que al meterle un número nos devuelve su consecutivo será x+1.

b) La función que al meterle un número nos devuelve su triple será 3·x.

c) La función que al meterle un número nos devuelve su mitad será x/2.

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables de manera que a cada elemento de la primera variable le corresponde un único elemento de la segunda variable.

Una función se representa mediante f(x); si tienes una segunda función, la designarás mediante g(x), h(x) o cualquier letra seguida de (x), donde x representa una variable independiente.

Así pues, en el ejemplo anterior tendríamos las siguientes funciones:

▪ Ejemplo:

a) La función que al meterle un número nos devuelve su consecutivo será f(x)=x+1.

b) La función que al meterle un número nos devuelve su triple será g(x)=3·x.

c) La función que al meterle un número nos devuelve su mitad será h(x)=x/2.

Funciones lineales

Las funciones lineales son funciones del tipo f(x)=m·x ó y=m·x, donde m puede tomar cualquier valor.

m se conoce como pendiente y define la variación de la variable dependiente respecto de la variable independiente. (En el siguiente punto analizaremos esta frase con más detalle).

Las funciones lineales también se llaman funciones de proporcionalidad directa porque relacionan dos magnitudes directamente proporcionales.

Representación gráfica de funciones lineales

La representación gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen de coordenadas. La demostración es muy sencilla:

Cualquier función lineal es de la forma f(x)=mx. Al calcular f(0) tienes que sustituir la x por 0, por lo tanto f(0)= m·0 = 0. Por tanto, (0,0) es un punto de la gráfica de cualquier función lineal.

En el apartado anterior, te dije que la pendiente indica la variación de la variable dependiente respecto de l variable independiente. Analicémoslo ahora:

Cuando x=1, y=f(1)=m·1=m, es decir, m indica cuanto varía la variable dependiente por una unidad de la variable independiente, es decir, m es la relación de proporcionalidad que hay entre dos magnitudes directamente proporcionales.

Gráficamente, la pendiente expresa la inclinación de la recta asociada a una función lineal.

Dependiendo del valor de la pendiente, m, las funciones lineales pueden ser crecientes o decrecientes:

– Si m<0, la función será decreciente,

– mientras que si m>0, la función será creciente.

Tipos de funciones lineales dependiendo del valor de la pendiente: si m es positiva, la función es creciente y si m es negativa, la función es decreciente

(Observación: Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, |m|, mayor será la inclinación de la recta asociada a dicha función)

– en el caso de que m=0, la función no tiene pendiente y la representación gráfica es una recta horizontal que coincide con el eje OX:

Sustituyendo m=o en y=m·x nos queda y=0·x=0.

Cuando m=0, la función lineal es constante y coincide con el eje OX

Ejercicios y problemas resueltos de funciones lineales

Funciones lineales. Problema 1

Obtén la tabla de valores y representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x)=5x

b) g(x)=-3x

Funciones lineales. Problema 2

Un refresco cuesta 2 € el litro.

a) Indica la variable independiente y la dependiente.

b) Haz una tabla de valores

c) Representa la gráfica

d)Escribe la función que relaciona el número de litros con el precio

Funciones lineales. Problema 3

Tres rotuladores cuestan 4,5 €

a) Indica la variable independiente y la dependiente.

b) Haz una tabla de valores

c) Representa la gráfica

d) Escribe la función que relaciona el número de rotuladores con el precio

Funciones lineales. Problema 4

a) Expresa en una tabla la relación que existe entre el lado de un cuadrado (1cm, 2cm, 3cm) y su perímetro.

b) Indica la variable independiente y la dependiente.

c) Representa la gráfica.

d) Escribe la función que relaciona el lado con el perímetro.