En análisis el límite de una función es el valor hacia el que va una función en un determinado punto.
ÍNDICE
Definición de límite de una función en un punto
El límite de una función f en un punto a, 
, es el valor al que se aproximan las imágenes f(x) cuando x se va acercando a a.
Observa las imágenes f(x) según las x se van haciendo más pequeñas acercándose a 6.
¿Hacia que valor f(x) se van aproximando? Hacia el 1, ¿verdad?
Fíjate ahora en las imágenes f(x) pero esta vez según las x se van haciendo más grandes acercándose a 6.
¿Hacia que valor se aproximan ahora las imágenes f(x)? Hacia el 1 también, ¿verdad?
Pues en este caso puedes decir que 
La manera de resolver límites de funciones es sencilla pues en general el límite de una función en x=a coincide con f(a).
En el ejemplo anterior, en el que 
sería: 
Pero esta regla falla a veces, y es en el caso de funciones discontinuas o funciones que no están definidas para cualquier valor de x.
En la siguiente función las imágenes f(x) se aproximan a 2 cuando las x se acercan a 5:
y sin embargo f(5)=4.
Y en esta otra función las imágenes f(x) se van haciendo cada vez menos pequeñas cuando las x se acercan a 0:
y en este caso ni siquiera existe f(0).
Límites laterales
Volviendo al primer ejemplo, puedes ver que en la primera gráfica, las x se acercaban a 6 haciéndose cada vez más pequeñas, es decir, por la derecha mientras que en la segunda gráfica, se iban haciendo más grandes, acercándose a 6 por la izquierda.
En el primer caso, lo que estabas resolviendo era el límite lateral por la derecha de 6 mientras que en el segundo caso, lo que hacías era calcular el límite por la izquierda de 6.
Normalmente los límites laterales coinciden y en ese caso se puede decir que existe límite y su valor es el de los límites laterales:
Pero hay ejercicios, como el ejercicio 2, en el que tendrás que trabajar con funciones definidas a trozos y en ese caso puede que los límites laterales no coincidan, en cuyo caso no habría límite:
Cuando uno o los dos límites laterales en un punto x=a valen +∞ o -∞, hay una asíntota vertical de ecuación x=a.
En el ejemplo anterior,
la función presenta una asíntota vertical de ecuación x=0.
Límites en el infinito
Otro de los objetos de interés en el estudio de las funciones es saber qué ocurre cuando los valores de la x se hacen muy grandes (tiende a +∞) o muy pequeños (tiende a -∞). Para ello necesitas calcular el límite de la función cuando x tiende a ±∞, 
, o 
La manera de calcular ese tipo de límites es igual que el límite en un punto, salvo que a la hora de sustituir, en lugar de hacerlo por un valor en concreto lo harás por +∞ ó -∞.
En el caso de que el límite en ±∞ tome un valor distinto de +∞ ó -∞, hay una asíntota horizontal cuya ecuación es y=límite.
En el caso anterior, como el límite cuando x tiene a +∞ es 0, la función tiene una asíntota horizontal de ecuación y=0.
Ejercicios y problemas resueltos de límite de una función
Límite de una función. Ejercicio 1
a) Calcula el límite de 
en x=2,
b) el límite de 
cuando x tiende a infinito, y
c) el límite de cuando x tiende a menos infinito
Límite de una función. Ejercicio 2
a) Calcula el límite de 
cuando x=2, y,
b) el límite de 
cuando x=1.