Un concepto de suma importancia en la aritmética es el mínimo común múltiplo. Algo menos importante pero no por ello menos útil es el máximo común divisor.
Ambos podrás usarlos por ejemplo a la hora de trabajar con fracciones.
ÍNDICE
Mínimo común múltiplo, mcm
Para definir el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números tienes que leerlo al revés:
– múltiplo; es decir, se puede obtener multiplicando los números que tienes por un entero.
– común; por tanto, tiene que serlo de todos.
– mínimo; de la lista infinita, tienes que coger el menor.
De este modo, el mínimo común múltpiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes.
El mínimo común múltiplo de dos números, a y b, se escribe mcm(a,b), el de tres números, a, b, y c, se escribe mcm(a,b,c) y así sucesivamente.
Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números
Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números según su definición
Siguiendo con tu lectura al revés, el proceso para obtener el mínimo común múltiplo sería:
Paso 1. Obtén un listado con los múltiplos de los números a trabajar.
Paso 2. Encuentra los múltiplos comunes a todas las listas.
Paso 3. De los comunes, elige el menor.
Para calcular el mínimo común múltiplo de 4 y 10, mcm(4,10), lo primero que tienes que hacer es una lista con varios múltiplos de ambos:
múltiplos de 4 → 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, …
múltiplos de 10 → 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, …
y de los comunes, es decir, 20, 40, 60,… coger el menor, en este caso 20.
Así pues, mcm(4, 10)=20.
Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números mediante descomposición factorial
Si te paras a pensarlo, sacar la lista de los múltiplos, ver los comunes y elegir el menor es un proceso largo y aburrido. Sin embargo, con este método lo harás más rápido:
Paso 1. Factoriza los números.
(¡puedes hacerlo sin escribir nada!, como en el Problema 0)
Paso 2. Elige los factores comunes y no comunes al mayor exponente.
Siguiendo con el ejemplo anterior, para calcular el mínimo común múltiplo de 4 y 10:
Calcular el mcm(10,12,45) con el método anterior sería muy complicado. Sin embargo, con este método, lo lograrás de una manera rápida:
La clave está en factorizar ágilmente y en el Problema 0 te explico cómo lograrlo.
Máximo común divisor, MCD
Al igual que con el mínimo común múltiplo, para definir el máximo común divisor (MCD) de dos o más números tienes que leerlo al revés:
– divisor; es decir, se puede obtener dividiendo los números que tienes por un entero.
– común; por tanto, tiene que serlo de todos.
– máximo; de la lista, esta vez finita, tienes que coger el mayor.
Es decir, el máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.
El máximo común divisor de dos números, a y b, se escribe MCD(a,b), el de tres números, a, b y c, se escribe MCD(a,b,c) y así sucesivamente.
Cálculo del máximo común divisor de dos o más números
Cálculo del máximo común divisor de dos o más números según su definición
Siguiendo con tu lectura al revés, el proceso para obtener el máximo común divisor sería:
Paso 1. Obtén un listado con todos los divisores de los números a trabajar.
Paso 2. Encuentra los divisores comunes a todas las listas.
Paso 3. De los comunes, elige el mayor.
Para calcular el máximo común divisor de 12 y 30, MCD(12,45), tienes que hacer una lista todos divisores de ambos:
divisores de 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12
divisores de 30 → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 45
y de los comunes, es decir, 1, 2, 3 y 6… coger el mayor, en este caso 6.
Así pues, MCD(12, 30)=6.
Cálculo del máximo común divisor de dos o más números mediante descomposición factorial
Hacer la lista de los divisores, ver los comunes y elegir el mayor no tiene sentido cuando puedes hacerlo más rápido mediante descomposición factorial:
Paso 1. Factoriza los números.
(te resultará muy sencillo si lo haces como en el Problema 0)
Paso 2. Elige los factores comunes al menor exponente.
Con el ejemplo anterior, para calcular el máximo común divisor de 12 y 30:
Calcular el MCD(10,12,45) con el método anterior sería muy complicado. Sin embargo, con este método, lo lograrás de una manera rápida:
La clave está en factorizar ágilmente y en el Problema 0 te explico cómo lograrlo.
mínimo -> mayores
máximo -> menores
Ejercicios y problemas resueltos de divisibilidad (mínimo común múltiplo – mcm, Máximo Común Divisor – MCD)
Mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Problema 0
¡Aprende a factorizar sin escribir!
Al principio puede parecerte difícil, pero créeme, tras varios días practicando, adquirirás soltura e irás más rápido que con el método tradicional.
Para empezar, practica con los números que aparecen en las tablas de multiplicar, porque así ya tendrás el primer paso hecho.
Mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Problema 1
Por motivos de trabajo David va a Zaragoza cada 15 días.
Su compañera Patricia va cada 18 días.
¿Cada cuántos días coinciden?
Mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Problema 2
En un polideportivo hay dos actividades extraescolares:
– un grupo de teatro, que se reúne a ensayar cada 3 días y,
– un equipo de fútbol que entrena cada dos días.
a) ¿Cada cuántos días coinciden los dos grupos?
b) Si el 1 de Octubre coincidieron, ¿cuántos días más en Octubre volverán a coincidir?
Mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Problema 3
En una frutería se desean embalar 90 manzanas y 42 naranjas en bandejas.
Cada bandeja contiene el mismo número de piezas de fruta del mismo tipo.
Además, cada bandeja debe contener el mayor número posible de cada fruta.
a) Halla el número de piezas de fruta que debe ir en cada bandeja
b) Halla el número de bandejas de manzanas y naranjas que se pueden obtener.
Mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Problema 4
Se desea transportar 30 perros y 24 gatos en jaulas iguales de forma que todos lleven el mismo número de animales.
Por todos es conocido que perros y gatos por pueden ir en la misma jaula porque pueden surgir peleas entre ambas especies.
Para ahorrar en la compra de jaulas, se ha decidido que las jaulas sean lo más grandes posibles.
a) ¿Cuántos animales irán en cada jaula?
b) ¿Cuántas jaulas se necesitarán para transportar a los perros? ¿Y para transportar a los gatos?
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