NÚMEROS ENTEROS

¿Cómo surgieron los números enteros?

Cuando estudiaste los números naturales, viste que la resta no es una operación interna pues no siempre que realices una, el resultado será un número natural.

Y es que no es lo mismo a 5 quitarle 3 (es decir, 5-3=2), que a 3 quitarle 5 porque ¿cómo quitarle a un número una cantidad mayor? Para los casos en los que la cantidad a sustraer es mayor, tendrás que hacer uso de los números enteros negativos.

Introducción al conjunto de los números enteros

Los números enteros están formados por los números naturales, sus opuestos (es decir, con un signo «-» delante) y el cero 0. Como existe un debate sobre si el 0 es un número natural o no, lo añado expresamente a la definición del conjunto de los números enteros.

Por tanto, podemos definir un número entero como un elemento del conjunto Conjunto de los números enteros formado por los números naturales, sus opuestos y el 0

Ampliando el conjunto de los números naturales, la aritmética va un paso más allá para ofrecernos nuevas herramientas matemáticas con las que cubrir las necesidades de nuestra vida diaria que los números naturales no pueden hacer.

Representación y orden de los números enteros

Al igual que el conjunto de los números naturales, un número entero se puede representar en una recta. Partiendo de un punto inicial, el 0, debes ir haciendo marcas equidistantes (es decir, que haya la misma distancia entre todas las marcas) a la derecha y a la izquierda del 0. Las marcas de la derecha se corresponderán con los números 1, 2, 3, 4, … y las de la izquierda con el -1, -2, -3, -4, …
Recta con los números enteros representados

De esta manera, puedes comparar dos elementos cualesquiera, pues al colocarlos sobre la recta anteriormente dibujada, el que quede a la derecha será el mayor.

Ejemplo:

2 es mayor que -3 y se representa 2 > -3.
2 es mayor que -3 pues al representarlos sobre la recta queda a la derecha. de igual modo, -3 es menor que 2 porque al representarlos sobre la recta queda a la izquierda

Como consecuencia, el número que queda a la izquierda es el menor.

Ejemplo:

Como 2 es mayor que -3, también podrías decir que -3 es menor que 2 y lo representarías como -3 < 2.

Observa que cuando ambos enteros son negativos, el criterio es el mismo:

Ejemplo:

-5 es mayor que -8, -5 > -8, pues al dibujarlos en la recta queda a la derecha:
-5 es mayor que -8 porque al dibujarlos sobre la recta, queda a la derecha

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al 0 y se representa con el número entre las llamadas barras de valor absoluto | |.

Ejemplo:

Así pues, el valor absoluto de 5, |5|, es 5 pues dista 5 unidades del 0 y el valor absoluto de -8, |-8|, es 8 porque la distancia es de 8 unidades respecto al 0.

Otra manera de definir el valor absoluto sería Valor absoluto de un número, se mantiene igual si es positivo y cambia el signo si es negativo

Ejemplo:

Siguiendo con el ejemplo anterior, el valor absoluto de 5 es 5, |5|=5, pues al ser positivo se queda igual y el valor absoluto de -8 es 8, |8|=8, porque al ser negativo cambia el signo.

Observa que el valor absoluto de un número es positivo pues las distancias siempre son positivas.

Operaciones básicas con números enteros

Suma o adición de números enteros

Si ambos sumandos tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se mantiene el signo:

Ejemplo:

5 + 9 = 14, siendo ambos positivos,

-3 + (-4) = -7, si los dos son negativos.

(Observa que en el segundo ejemplo -4 está entre paréntesis. La razón es que no puede haber nunca dos signos seguidos)

Si los sumandos tienen diferente signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto:

Ejemplo:

Para hacer 5 + (-9) tienes que calcular los valores absolutos |5|=5, |-9|=9, restarlos 9 – 5 = 4 y como -9 tiene mayor valor absoluto, el resultado será negativo; es decir, 5 + (-9) = -4.

Y si tuvieras -3 + 4, restando los valores absolutos 4 – 3 = 1 el resultado sería -3 + 4 = 1, con signo positivo pues 4 tiene mayor valor absoluto.

Propiedades de la suma o adición de números enteros

Operación interna: La suma de dos números enteros es otro número entero.

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado: a + b = b + a.

Ejemplo:

-5 + 4 = 4 + (-5)

Propiedad asociativa: Para sumar tres o más números enteros, el orden en que se haga no modifica el resultado: a + (b + c) = (a + b) + c.

Ejemplo:

5 + (-7 + 4) = (5 + (-7)) + 4
5 + (-3) = -2 + 4
2 = 2

El elemento neutro es el 0: a + 0 = 0 + a.

Ejemplo:

-5 + 0 = 0 + (-5)

El elemento opuesto de un número es aquel que hace que la suma valga 0: a + (-a) = -a + a = 0.

Ejemplo:

3 + (-3) = -3 + 3 = 0

Resta o sustracción de números enteros

Para restar dos números enteros no tienes más que transformar la resta en una suma, a – b = a + (-b) y operar como en el paso anterior:

Ejemplo:

6 – 10 = 6 + (-10) = -4

-2 – 5 = -2 + (-5) = -7

(Con la práctica interiorizarás este proceso y podrás hacer la operación mentalmente)

Propiedades de la resta o sustracción de números enteros

Operación interna: La resta de dos números enteros es otro número entero.

No se cumple la propiedad conmutativa: El orden de los factores altera el resultado: a – b ≠ b – a.

Ejemplo:

12 – 5 ≠ 5 – 12
7 ≠ -7

No se cumple la propiedad asociativa: Al restar tres o más números naturales, el orden en que se haga modifica el resultado.

Ejemplo:

10 – (-4 – 1) ≠ [10 – (-4)] – 1
10 – (-5) ≠ 14 – 1
15 ≠ 13

No hay elemento neutro: al no darse la propiedad conmutativa, no existe ning̼n elemento que la satisfaga pero puedes decir que el 0 es el elemento neutro por la derecha, pues a Р0 = a.

Ejemplo:

-3 – 0 = -3 pero 0 – (-3) = 3 .

Multiplicación o producto de números enteros

Para multiplicar dos números enteros tienes que multiplicar los valores absolutos de ambos factores. El signo vendrá determinado por la siguiente regla:

Regla de los signos
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +

Ejemplo:

4 · 8 = 32

4 · (- 8) = -32

-4 · 8 = -32

-4 · (- 8) = 32

Propiedades de la multiplicación o producto de números enteros

Operación interna: El producto de dos números enteros es otro número entero.

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto: a · b = b · a

Ejemplo:

6 · (-3) = -3 · 6

Propiedad asociativa: Para multiplicar tres o más números enteros, el orden en que se haga no modifica el resultado: a · (b · c) = (a · b) · c

Ejemplo:

8 · [(-3) · 2] = [(8 · (-3)] · 2
8 · (-6) = -24 · 2
-48 = -48

El elemento neutro es el 1: a · 1 = 1 · a

Ejemplo:

-12 · 1 = 1 · (-12) = -12

Propiedad distributiva: Un factor que multiplica a una suma puedes escribirla como la suma de los productos de dicho factor con los sumandos; es decir, a · (b + c) = a·b + a·c

Ejemplo:

-9 · (-6 + 5) = -9 · (-6) + (-9) · 5

Factor común: Una suma en la que los sumandos tienen un elemento en común, puedes escribirla como el producto de dicho elemento y la suma de los sumandos sin ese elemento. Es decir; a·b + a·c = a · (b + c)

Ejemplo:

10 – 14 = 2 · 5 + 2 · (-7) = 2 · [5 + (-7)]

(Observa que extraer factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva.)

División o cociente de números enteros

Para dividir dos números enteros tienes que dividir los valores absolutos de ambos factores. El signo vendrá determinado por la siguiente regla:

Regla de los signos
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +

(Recuerda que el resultado será un número entero si la división es exacta, es decir, que el resto sea 0)

Ejemplo:

54 : 6 = 9

54 · (- 6) = -9

-54 · 6 = -9

-54 · (- 6) = 9

Propiedades de la división o cociente de números enteros

Operación no interna: La división de dos números enteros no siempre es otro número entero. Para que así fuera, el resto debería ser 0 o lo que es lo mismo, la división exacta.

Ejemplo:

El resultado de dividir 5 entre 2 no es un número entero porque la división no es exacta.

No se cumple la propiedad conmutativa: El orden de los factores altera el resultado: a : b ≠ b : a.

Ejemplo:

12 porciones de pizza divididas en 4 grupos dan como resultado 3 porciones en cada grupo. Sin embargo 4 porciones de pizza divididas entre 12 grupos no se puede hacer porque hay más grupos que porciones.

No se cumple la propiedad asociativa: Al dividir tres o más números enteros, el orden en que se haga modifica el resultado.

Ejemplo:

54 : (-9 : 3) ≠ [54 : (-9)] : 3
54 : (-3) ≠ -6 : 3
-18 ≠ -2

No hay elemento neutro: al no darse la propiedad conmutativa, no existe ningún elemento que la satisfaga pero puedes decir que el 1 es el elemento neutro por la derecha, pues a : 1 = a.

Ejemplo:

-21 : 1 = -21 ; pero 1 : (-21) ≠ -21

NO existe la división entre 0: Dividir entre 0 significaría repartir algo en 0 grupos; al no haber grupos entre los que repartir, no tiene sentido hacer la división.

Los números enteros en la vida diaria

Una de las aplicaciones de los números enteros es para indicar las plantas de un edificio. Cuando vas a coger un ascensor, los números negativos hacen referencia a las plantas del garaje y sótanos y los positivos a las plantas con viviendas.

(Como curiosidad, te diré que en Taiwán los ascensores y los edificios no tienen planta baja o 0 sino que empiezan por la planta 1, y los sótanos o plantas de garaje las numeran con B1, B2, B3,…y así sucesivamente.)

Del mismo modo puedes usarlos para medir altitudes: partiendo de 0 como la altitud del mar, puedes usar los números positivos para todos aquellos lugares por encima del nivel del mar y los negativos para los que están por debajo del nivel del mar (como en el Problema 5).

También puedes emplearlos para medir temperaturas: El 0 es el punto de referencia y es la temperatura a la que se congela el agua (como en el Problema 2).

Igualmente puedes hacer uso de ellos para hacer referencias a los años: Se considera el año 0 como el año en el que nació Jesucristo. Si quieres referirte a una época anterior, deberás usar los enteros negativos y si quieres hacerlo a una posterior, deberás usar los enteros positivos.

Por último puedes utilizarlos para hacer cuentas con dinero: Las ganancias se representan con enteros positivos y las pérdidas con enteros negativos. También las deudas se representan con enteros negativos

¿Y tú, los usas para algo más?

Ejercicios y problemas resueltos de números enteros

Números Enteros. Problema 1

Luis tiene 294€ en el banco y le pasan una factura de 451€.

¿En qué situación queda su cuenta bancaria?

Números Enteros. Problema 2

Marta observa que el termómetro marca ahora 9ºC después de haber subido 12ºC.

¿Cuál era la temperatura inicial?

Números Enteros. Problema 3

Arquímedes fue uno de los matemáticos más importantes de la historia.

2225 años después de su nacimiento se inventó el primer ordenador el Z1, en 1938.

¿En qué año nació Arquímedes?

Números Enteros. Problema 4

Pitágoras nació en el año 572 antes de Cristo.

¿En qué año murió si vivió 75 años?

Números Enteros. Problema 5

El punto más alto de la Tierra es la cima del Everest, en la cordillera del Himalaya, que tiene una altura de 8.848 m sobre el nivel del mar.

El punto más bajo es el Abismo Challenger en el fondo de la Fosa de las Marianas, en el Océano Pacífico, que tiene 11.055 m de profundidad.

Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos extremos de la Tierra.

Números Enteros. Problema 6

El Titanic está hundido a unos 3,784 km de profundidad.

Si se reflotase a una velocidad de 5 metros por minuto:

a)¿A qué profundidad estaría al cabo de una hora?

b)¿Cuánto tiempo se tardaría en llevarlo a flote de nuevo?

Números Enteros. Problema 7

La temperatura de un lugar descendió entre las 20:00 y las 2:00 del día siguiente 3ºC cada hora.

a) ¿Cuántos grados bajó la temperatura en ese tiempo?

b) Si a las 20:00 hacía 7ºC, ¿qué temperatura había a las 2:00?

Números Enteros. Problema 8

Si salgo de casa con 30€, compro tres entradas para un concierto de 7€ cada una, recibo el dinero de las entradas de mis dos amigos y me gasto 4€ en refrescos durante el concierto, ¿cuánto dinero me quedará?

Números Enteros. Problema 9

Un barco congelador ha pescado una gran cantidad de calamares y se dispone a congelarla.

En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2º C cada diez minutos.

Si al principio la cámara se encontraba a 4º C:

a) ¿Qué temperatura tendrá después de hora y media de funcionamiento?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en encontrarse a – 30º C?



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