NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son, dentro de la aritmética el primer tema que vamos a estudiar.

Los números naturales son una de las primeras herramientas matemáticas que usó el ser humano; más concretamente cuando tuvo la necesidad de contar y ordenar.

Introducción al conjunto de los números naturales

Un número natural pertenece al conjunto Definición de numero natural.

¿Y el 0 es un número natural? Pues depende quién responda dicha pregunta. Hay matemáticos que opinan que no, pues es un concepto abstracto y no representa una cantidad finita. Sin embargo, hay personas que opinan que precisamente es un número natural pues representa la ausencia de elementos.

Así pues, dependiendo lo que opines tendrás que el conjunto de los números naturales viene definido como Conjunto de los números naturales sin el cero 0 ó Conjunto de los números naturales con el cero 0.

Particularmente yo me decanto por incluir al 0 en el conjunto de los números naturales y así lo pondré en uso en los problemas que resuelva.

Representación y orden de los números naturales

El conjunto de los números naturales se puede representar en una recta. Partiendo de un punto inicial, el 0, debes ir haciendo marcas equidistantes (es decir, que haya la misma distancia entre todas las marcas) a la derecha del mismo. Las marcas se corresponderán con los números 1, 2, 3, 4, …

Recta con los números naturales representados

De esta manera, puedes comparar dos elementos cualesquiera, pues al colocarlos sobre la recta anteriormente dibujada, el que quede a la derecha será el mayor.

▪ Ejemplo:

6 es mayor que 2 y se representa 6 > 2.

6 es mayor que 2 porque al representarlo en la recta, queda a la derecha. 2 es menor que 6 porque al representarlo en la recta queda a la izquierda

Como consecuencia, el número que queda a la izquierda es el menor.

▪ Ejemplo:

En el ejemplo anterior, tendrías que 2 es menor que 6 y lo representarías como 2 < 6.

Operaciones básicas con números naturales

Suma o adición de números naturales

Operación interna: La suma de dos números naturales es otro número natural.

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado: a + b = b + a

▪ Ejemplo:

5 + 4 = 4 + 5

Propiedad asociativa: Para sumar tres o más números naturales, el orden en que se haga no modifica el resultado: a + (b + c) = (a + b) + c

▪ Ejemplo:

2 + (7 + 3) = (2 + 7) + 3

El elemento neutro es el 0: a + 0 = 0 + a.

▪ Ejemplo:

6 + 0 = 0 + 6

Resta o sustracción de números naturales

Operación no interna: La resta de dos números naturales no siempre es otro número natural. Para que así fuera, el orden tiene que ser número mayor – número menor.

▪ Ejemplo:

6 – 9 no es un número natural porque no tiene sentido quitarle 9 unidades a un conjunto cuando sólo hay 6.

No se cumple la propiedad conmutativa: El orden de los factores altera el resultado: a – b ≠ b – a, pues una de esas operaciones no da como resultado un número natural (por la propiedad anterior).

▪ Ejemplo:

12 – 5 ≠ 5 – 12 porque 12 – 5 = 7 mientras que 5 – 12 no se puede hacer.

No se cumple la propiedad asociativa: Al restar tres o más números naturales, el orden en que se haga modifica el resultado.

▪ Ejemplo:

10 – (4 – 1) ≠ (10 – 4) – 1

10 – 3 ≠ 6 – 1

7 ≠ 5

No hay elemento neutro: al no darse la propiedad conmutativa, no existe ning̼n elemento que la satisfaga pero puedes decir que el 0 es el elemento neutro por la derecha, pues a Р0 = a.

▪ Ejemplo:

8 – 0 ≠ 0 – 8 porque 8 – 0 = 8 mientras que 0 – 8 no se puede hacer.

Multiplicación o producto de números naturales

Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural.

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto: a · b = b · a

▪ Ejemplo:

5 · 4 = 4 · 5

Propiedad asociativa: Para multiplicar tres o más números naturales, el orden en que se haga no modifica el resultado: a · (b · c) = (a · b) · c

▪ Ejemplo:

6 · (2 · 5) = (6 · 2) · 5

El elemento neutroes el 1: a · 1 = 1 · a

▪ Ejemplo:

12 · 1 = 1 · 12 = 12

Propiedad distributiva: Un factor que multiplica a una suma puedes escribirla como la suma de los productos de dicho factor con los sumandos; es decir, a · (b + c) = a·b + a·c

▪ Ejemplo:

3 · (6 + 2) = 3·6 + 3·2

Factor común: Una suma en la que los sumandos tienen un elemento en común, puedes escribirla como el producto de dicho elemento y la suma de los sumandos sin ese elemento. Es decir; a·b + a·c = a · (b + c)

▪ Ejemplo:

10 + 14 = 2·5 + 2·7 = 2 · (5 + 7)

(Observa que extraer factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva.)

División o cociente de números naturales

Operación no interna: La división de dos números naturales no siempre es otro número natural. Para que así fuera, el resto debería ser 0 o lo que es lo mismo, la división exacta.

▪ Ejemplo:

El resultado de dividir 1 entre 3 no es un número entero porque la división no es exacta.

No se cumple la propiedad conmutativa: El orden de los factores altera el resultado: a : b ≠ b : a.

▪ Ejemplo:

10 monedas divididas en 5 grupos dan como resultado 2 monedas en cada grupo.

Sin embargo 5 monedas divididas entre 10 grupos no se puede hacer porque hay más grupos que monedas.

No se cumple la propiedad asociativa: Al dividir tres o más números naturales, el orden en que se haga modifica el resultado.

▪ Ejemplo:

24 : (6 : 2) ≠ (24 : 6) : 2

24 : 3 ≠ 4 : 2

8 ≠ 2

No hay elemento neutro: al no darse la propiedad conmutativa, no existe ningún elemento que la satisfaga pero puedes decir que el 1 es el elemento neutro por la derecha, pues a : 1 = a.

▪ Ejemplo:

25 : 1 = 25 pero 1 : 25 ≠ 25.

NO existe la división entre 0: Dividir entre 0 significaría repartir algo en 0 grupos; al no haber grupos entre los que repartir, no tiene sentido hacer la división.

Los números naturales en la vida diaria

Puedes utilizarlos para contar: por ejemplo, las personas que asisten a un evento, el dinero recaudado en dicho evento o el beneficio que se ha obtenido al descontar los gastos de la organización.

Del mismo modo puedes usarlos para ordenar: los países que más contaminan el medio ambiente, el orden de llegada a la meta en una carrera, la clasificación de un campeonato de fútbol,…

También puedes emplearlos para codificar: desde el número de teléfono fijo o móvil, la frecuencia de una emisora de radio hasta el código de barras de un producto.

Igualmente puedes hacer uso de ellos para medir: la altura o el peso de una persona, la distancia entre dos ciudades, el tiempo de cocción de un pastel…

¿Se te ocurre algún uso más?

Ejercicios y problemas resueltos de números naturales

Números naturales. Problema 1

Ainara ha comprado 140 vestidos a 8 € cada uno y los pone en venta a 12 € la unidad.

Como no consigue vender 30, los rebaja a 10 €, de modo que consigue venderlos todos.

¿Qué beneficio ha obtenido por la venta de los vestidos?

Números naturales. Problema 2

Un teatro tiene un aforo máximo de 300 localidades.

El día del estreno de una obra se vendieron la mitad por teléfono y 50 a pie de taquilla.

¿Cuántas entradas quedaron por vender?

Si las entradas en taquilla cuestan 12€ y las de venta telefónica 10€. ¿Cuánto dinero habrá recaudado el teatro el día del estreno?

Números naturales. Problema 3

Un restaurante tiene 20 docenas de huevos para hacer 10 bizcochos para una tarta de boda y, con los huevos que sobren harán flanes.

Para cada bizcocho se emplean 6 huevos y para cada flan 5 huevos.

¿Cuántos flanes podrán hacerse?

Números naturales. Problema 4

Un restaurante tiene 20 docenas de huevos para hacer 10 bizcochos para una tarta de boda y, con los huevos que sobren harán magdalenas.

Para cada bizcocho se emplean 6 huevos, y para cada docena de magdalenas, 5 huevos.

¿Cuántas magdalenas podrán hacerse?

Números naturales. Problema 5

El llenado de un abrevadero para el ganado se realiza con dos manantiales que dan 2 litros por minuto el primero y 10 litros por hora el segundo.

Por un desagüe se pierden 5 litros por día.

¿Qué capacidad tendrá el abrevadero si son necesarias 3 semanas para llenarlo?

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