PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Antes de estudiar las progresiones aritméticas, debes entender qué es una sucesión matemática y en qué se diferencia de un conjunto de números.

Una sucesión no es más que una secuencia de términos ordenados a diferencia de un conjunto de números donde el orden no es importante. Además, en una sucesión numérica los términos pueden repetirse.

La sucesión más famosa es la sucesión de los números primos, seguida de la sucesión de Fibonacci, en la que, empezando por los números 1 y 1, cada término se obtiene de sumar los dos términos anteriores. Así la sucesión es 1,1,2,3,5,8,13,21,…

Qué son las progresiones aritméticas

Cuando hacemos referencia a sucesiones de números en las que para pasar de un término a otro hay que sumar una cantidad constante, estamos hablando de progresiones aritméticas, PA.

La cantidad constante se llama diferencia que se representa mediante la letra d y cada uno de los términos se representa con an donde n indica la posición de cada término.

Ejemplo:

En la sucesión de los números pares (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,…) dos términos consecutivos siempre distan 2; por tanto, la diferencia es d=2 y puedes decir que la sucesión de los números pares es una progresión aritmética.

Progresiones aritméticas ascendentes y descendentes

Si la diferencia es positiva, los términos son cada vez mayores y la progresión será ascendente; sin embargo si la diferencia es negativa, los términos se van haciendo más pequeños y por tanto la progresión será descendiente; y si la diferencia vale 0, todos los términos son iguales y la progresión será constante.

Mira estos ejemplos de sucesiones:

Ejemplo:

En la sucesión 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,…, para pasar de un término a otro, tienes que sumar 3; por tanto, la diferencia es d=3 y la progresión es ascendente.

Ejemplo:

Sin embargo, en esta otra sucesión 17,13,9,5,1,-3,-7,-11,-15,…, para pasar de un término al siguiente, tienes que restar 4 (o sumar -4); entonces, la diferencia es d=-4 y la progresión es descendente.

Término general de una progresión aritmética

A partir del primer término a1 y de la diferencia d puedes obtener cualquier término:

Desarrollo para calcular el término general an de las Progresiones Aritméticas a partir del primer término a1 y la diferencia d

siendo esta última la fórmula del término general; es decir:

Término general an de las Progresiones Aritméticas a partir del primer término a1 y la diferencia d

Ejemplo:

Si tienes una progresión aritmética en la que el primer término vale 5 y la diferencia es -2, el término general será an= 5 + (n-1) · (-2) = 5 -2n + 2 = 7 -2n.

Ahora presta atención al siguiente caso:

Relación entre los términos a7 y a11 de una progresión aritmética

es decir, sumándole a a7 11-7=4 diferencias obtendrás a11: a11= a7 + 4d.

Así pues, generalizándolo, la fórmula que relaciona dos términos cualesquiera es:

Fórmula que relaciona dos términos cualesquiera de una Progresión Aritmética

Esta fórmula te será útil cuando te pidan averiguar la diferencia de una progresión aritmética a partir de dos términos dados, como en el Ejercicio 2.

Suma de un número finito de términos de una progresión aritmética

Para terminar, hay una fórmula para calcular la suma de un número finito de términos en una progresión aritmética. Es la siguiente:

Suma de un número finito de términos de una Progresión Aritmética

Ejemplo:

Si tienes la progresión aritmética cuyo primer término vale -3 y la diferencia es 4 y quieres calcular la suma de los 20 primeros términos, no tienes más que calcular a20 ( a20 = a1 + 19 · 4 = -3 + 76 = 73), sustituir en la fórmula los datos y operar:

Ejemplo de la suma finita de los elementos de una progresión aritmética

Aplicaciones de las progresiones aritméticas en la vida diaria

Las progresiones aritméticas están presentes en la vida diaria. Aquí tienes unos ejemplos:

– Imagina que tienes en tu hucha 14€ y cada mes ahorras 5€; tu ahorro viene representado por una PA en la que a1=14 y d=5.

– Ahora supón que el banco te hiciera un préstamo de 1000€ y te cobrara por dicho préstamo 250€ y acordarais devolverlo en cuotas de 60€. El dinero que le debes al banco viene reflejado en la PA cuyo a1=1250 y d=-60.

– Cuando vas a hacer una llamada telefónica y tu compañía te cobra 0,5€ por el establecimiento de llamada y 0,05€ por cada minuto, el coste de las llamadas viene dado por una PA donde a1=0,5 y d=0,05.

– Y tú, ¿las usas en tu vida diaria?

Ejercicios y problemas resueltos de progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas. Ejercicio 1

Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) 2,6,10,14,18,…

b) a1 = 10, a5 = 22

c) a10 = 25, d = 5

Progresiones aritméticas. Ejercicio 2

En una progresión aritmética el quinto término vale 13 y el décimo cuarto término vale 31.

Halla el término general y a24.

Progresiones aritméticas. Ejercicio 3

Halla la posición del término de valor 18 en la progresión de término general: an=3n-6

Progresiones aritméticas. Ejercicio 4

En la progresión aritmética 21,17, 13, 9,… ¿qué posición ocupa el término que vale -3?

Progresiones aritméticas. Ejercicio 5

Halla la posición del término de valor -46 en la progresión aritmética con a1=3 y d=-7

Progresiones aritméticas. Ejercicio 6

¿Qué posición ocupa el término de valor 38 en la progresión aritmética con términos a7=8 y a14=29?

Progresiones aritméticas. Ejercicio 7

Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 4n-1

Progresiones aritméticas. Ejercicio 8

Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión aritmética con a4=4 y a9=-1

Progresiones aritméticas. Ejercicio 9

El quinto término de una progresión aritmética es 5 y la suma de los quince primeros términos es 210. Halla el término general de la progresión.

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