PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Para poder entender las progresiones geométricas, debes interiorizar qué es una sucesión matemática y en qué se diferencia de un conjunto de números.

Una sucesión no es más que una secuencia de términos donde, a diferencia de un conjunto de números, el orden es importante. Por otro lado, en una sucesión numérica los términos pueden repetirse mientras que en un conjunto la duplicidad no se puede dar.

Una de las sucesiones más sencillas de entender es la que viene definida por 1/n donde n toma los distintos valores del conjunto de los : Sucesión 1/n, con n natural

Qué son las progresiones geométricas

Cuando hacemos referencia a secuencias de números en las que para pasar de un término a otro hay que multiplicar por una cantidad constante, estamos hablando de progresiones geométricas, PG.

La cantidad constante se llama razón y se representa mediante la letra r.

Ejemplo:

La división celular (ya sea por mitosis o meiosis) consiste en la división de una célula para dar lugar a dos. Posteriormente, cada una de esas células hijas, se dividirá en dos y así sucesivamente. Gráficamente sería:
Progresiones Geométricas en la división celular
El número de células sigue la siguiente secuencia: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, en la que para pasar de un término al siguiente tienes que multiplicar por 2. Por tanto, estás ante una progresión geométrica cuya razón es r=2.

Progresiones geométricas ascendentes, descendentes y oscilantes

Observa estos ejemplos de progresiones geométricas:

Ejemplo:

1,3,9,27,81,243,…para pasar de un término al siguiente, tienes que multiplicar por 3; por tanto, la razón es 3, r=3 y la progresión es ascendente.

Ejemplo:

-5,-10,-20,-40,-80,-160,…para pasar de un término al siguiente, tienes que multiplicar por 2; por tanto, la razón es r=2 y en este caso la progresión es descendiente.

Ejemplo:

1,-5,25,-125,625,…para ir de un término a otro, tienes que multiplicar por -5; por tanto, la razón es r=-5 pero en este caso los términos cambian de signo por lo que la progresión es oscilante.

A diferencia de como ocurría en las progresiones aritméticas, no puedes establecer un criterio únicamente en función de la razón sino que también depende del valor de a1:

r<0 0<r<1 r>1
a1>0 oscilante descendiente ascendiente
a1<0 oscilante ascendiente descendiente

Término general de una progresión geométrica

A partir del primer término a1 y de la razón r puedes obtener cualquier término:

Desarrollo para calcular el término general an de las Progresiones Geométricas a partir del primer término a1 y la diferencia r

siendo la última línea la fórmula del término general; es decir:

Término general an de las Progresiones Geométricas a partir del primer término a1 y la diferencia r

Ejemplo:

Si tienes una progresión geométrica en la que el primer término vale 4 y la razón es 3, el término general será an= 4 · 3 (n-1).

Ahora mira al siguiente caso:

Relación entre los términos a5 y a10 de una progresión geométrica

es decir, para pasar de a5 a a10 hay que multiplicar a5 por la razón elevada a 10-5=5.

Así pues, generalizándolo, la fórmula que relaciona dos términos cualesquiera es:

Fórmula que relaciona dos términos cualesquiera de una Progresión Geométrica

Esta fórmula te será útil cuando te pidan averiguar la razón de una progresión geométrica a partir de dos términos dados, como en el Ejercicio 2.

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de un número finito de términos de una progresión geométrica

Para terminar,hay una fórmula para calcular la suma de un número finito de términos en una progresión geométrica. Es la siguiente:

Suma de un número finito de términos de una Progresión Geométrica

Ejemplo:

Si tienes la progresión geométrica cuyo primer término vale 4 y la diferencia es -3 y quieres calcular la suma de los 10 primeros términos, no tienes más que sustituir en la fórmula a1=4 y r=-3 y operar:

Ejemplo de la suma finita de los elementos de una progresión geométrica

Suma del número infinito de términos de una progresión geométrica

Sin embargo, cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, |r|<1, los términos en valor absoluto se van haciendo cada vez más pequeños, es decir, se van acercando a 0.

En este caso, puedes calcular la suma de los infinitos términos con la siguiente fórmula:

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuando la razón en valor absoluto es menor que 1

Ejemplo:

Si tienes la progresión geométrica cuyo primer término vale 12 y la diferencia es -1/2 y quieres calcular la suma de los infinitos términos, no tienes más que sustituir en la fórmula a1=12 y r=-1/2 y operar:

Ejemplo de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuya razón en valor absoluto es menor que 1

Aplicaciones de las progresiones geométricas en la vida diaria

Las progresiones geométricas están presentes en la vida diaria y en la naturaleza. Aquí tienes unos ejemplos:

– Imagina que fueras a comprar un coche por valor de 24.000€. Cada año que pase, el coche va a perder valor (se conoce como devaluar). Si perdiera por ejemplo un 10% cada año, el valor del coche vendría representado por la progresión geométrica cuyo a1=24.000 y r=0,9.

– Como vimos al iniciar el tema, supón que estás en un laboratorio observando la división celular por mitosis o meiosis de una célula. Por cada unidad de tiempo, cada célula se divide en dos. En este caso, a1=1 y r=2.

– ¿Eres ahorrador? Si este es tu caso, puedes llevar tus ahorros al banco y te darán más dinero que el que ingresaste. Se llama interés compuesto. ¿Y cómo funciona? Cuando abres una cuenta de ahorro, el banco puede ofrecerte un interés del 1%, por ejemplo. Esto quiere decir que cada año te dará un 1% del dinero que tengas ingresado. Míralo con un ejemplo:

Ejemplo:

Si tienes 500€, al 1%, el primer año te darán 5€ (el 1% de 500), el segundo año ganarás 5,05€ (el 1% de 505), el tercer año obtendrás 5,1005€ (el 1% de 510,05),…

Es más sencillo de calcular con la siguiente fórmula: El interés compuesto visto como una progresión geométrica en la que a1 es  el capital inicial y la razón (1+interés), que como puedes observar es el término general de una progresión geométrica en la que a1=CI y r=(1+i)

Y hasta aquí la teoría…¿nos ponemos a practicar?

Ejercicios y problemas resueltos de progresiones geométricas

Progresiones geométricas. Ejercicio 1

Halla el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a) 3, 9, 27, 81, …

b) a1 = 96, a6 = 3

c) a5=80 y r=2

Progresiones geométricas. Ejercicio 2

En una progresión geométrica el segundo término vale -6 y el sexto término vale -96.

Halla el término general y a4.

Progresiones geométricas. Ejercicio 3

Halla la posición del término de valor 96 en la progresión geométrica de término general: an=3∙2n.

Progresiones geométricas. Ejercicio 4

En la progresión geométrica con a1=6, a2=12, a3=24, ¿qué posición ocupa el término 96?

Progresiones geométricas. Ejercicio 5

El primer término de una progresión geométrica es 3 y la razón es -2.

Un término es -96, ¿qué posición ocupa?

Progresiones geométricas. Ejercicio 6

¿Qué posición ocupa el término de valor 1 en la progresión geométrica con a4=5 y a7=625?

Progresiones geométricas. Ejercicio 7

Calcula la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica an=5·3n

Progresiones geométricas. Ejercicio 8

Halla la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica con a5=20 y r=1/5.

Progresiones geométricas. Ejercicio 9

La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es 9 y su razón 1/3.

Halla el tercer término.

¿Quieres más ejercicios y problemas resueltos de análisis? Entonces te puede interesar:

Números naturales
Números enteros
Mínimo común múltiplo, máximo común divisor
Fracciones
Proporcionalidad
Progresiones aritméticas
Progresiones aritméticas