PROPORCIONALIDAD SIMPLE

La proporcionalidad simple aritmética es una relación entre dos magnitudes de manera que si una aumenta o disminuye, la otra aumenta o disminuye de la misma forma.

Concepto de magnitud, razón y proporción

Magnitud

Una magnitud es algo que se puede medir:

Ejemplo:

Tu altura, tu peso, el tiempo que tardas en correr 1km o la velocidad en que lo corres son algunos ejemplos de magnitudes.

Razón

Una razón es un cociente de dos números relacionados entre sí.

Visualmente tiene el aspecto de una fracción, Una razón es un cociente de dos números relacionados entre sí, aunque no lo es pues en una razón los números que la componen no tienen que ser enteros mientras que para ser fracción si.

Al numerador de la razón se le llama antecedente y al denominador descendente.

Proporción

Una proporción es una igualdad de dos razones: Una proporción es una igualdad entre dos razones

Se llama constante de proporcionalidad al número que se obtiene de dividir el antecedente entre el consecuente de las razones de una proporción, es decir: La constante de proporcionalidad es el número que se obtiene de dividir el antecedente entre el consecuente de las razones de una proporción

Magnitudes directamente proporcionales

Si al aumentar una magnitud, aumenta la otra o si al disminuir una, disminuye la otra, estás ante dos magnitudes directamente proporcionales.

Ejemplo:

Por ejemplo, si quieres comprar patatas fritas, cuantas más patatas compres, más dinero tendrás que pagar; es decir, más patatas, más dinero (magnitudes directamente proporcionales).

Magnitudes inversamente proporcionales

Sin embargo si al aumentar una, disminuye la otra o si al disminuir una, aumenta la otra, estás ante dos magnitudes inversamente proporcionales.

Ejemplo:

Imagina que para ir al colegio tuvieras que hacerlo en bicicleta. Cuanto más rápido vayas, menos tiempo tardarás en llegar; es decir, más velocidad, menos tiempo (magnitudes inversamente proporcionales).

Regla de tres (R3) y reducción a la unidad (RU)

A la hora de resolver un problema de proporcionalidad puedes hacerlo de dos maneras diferentes: por reducción a la unidad o por una regla de tres:

Reducción a la unidad (RU). En este caso tienes que obtener el valor de la unidad a partir de los datos del enunciado y posteriormente, con esa información calcular el valor de la incógnita que te están pidiendo.

Regla de tres (R3). En este caso, lo que tienes que hacer es escribir la proporción que relaciona los cuatro datos del enunciado (dos datos de una magnitud, un dato de la otra magnitud y la cantidad a hallar) y resolverla.

Ejemplo resuelto cuando la relación es directa

Para empezar mira este ejemplo con magnitudes directamente proporcionales:

Ejemplo:

Partiendo del ejemplo de las patatas fritas, imagina que este fuera el enunciado: 5 bolsas de patatas fritas cuestan 2,5€. ¿Cuánto costarán 7 bolsas?

Reducción a la unidad (RU):

Paso 1. Calculas el precio de una bolsa de patatas: 2,5:5=0,5. Una bolsa cuesta 0,5€

Paso 2. Calculas el precio de 7 bolsas de patatas: 7.0,5=3,5.

Personalmente me gusta más escribirlo todo en una tabla:Proporcionalidad Simple Directa. Ejemplo de Reducción a la Unidad

Por lo tanto, 7 bolsas costarán 3,5€

Regla de tres (R3):

Paso 1. Escribes los datos en una tabla cuyas columnas son las magnitudes «número de bolsas» y «precio»:Proporcionalidad simple directa. Regla de tres. El primer paso es colocar los datos en una tabla

Paso 2. Escribes la proporción que relaciona los datos teniendo en cuenta que cuando la relación es directa se escriben los datos tal cual aparecen en la tabla:Proporcionalidad Simple Directa. Regla de tres. El segundo paso es escribir la proporción a partir de los datos de la tabla del paso 1

Paso 3. Finalmente, resuelves la proporción haciendo productos cruzados y posteriormente despejando la incógnita:Proporcionalidad Simple Directa. Regla de tres. El tercer paso es resolver la proporción del paso 2 haciendo productos cruzados y posteriormente despejando la x

Así pues, 7 bolsas costarán 3,5€

Ejemplo resuelto cuando la relación es inversa

Aunque el proceso es similar, observa las diferencias cuando trabajes con magnitudes inversamente proporcionales:

Ejemplo:

Partiendo del ejemplo de tu recorrido de casa al colegio, imagina que este fuera el enunciado: Si yendo a 10km/h tardas 6 minutos. ¿Cuánto tardarías en llegar si fueras a 12km/h?

Reducción a la unidad (RU):

Paso 1. Calculas el tiempo que tardarías si fueras a 1km/h: 6.10=60
(observa que tienes que hacer la operación inversa que haces para reducir a la unidad, es decir, multiplicar por 10)

Paso 2. Calculas el tiempo llevando la velocidad a 12km/h: 60:12=5
(en este paso tienes que hacer la operación inversa que haces para alcanzar los 12km/h, es decir, dividir entre 12)

La tabla que recoge todo el proceso sería: Proporcionalidad Simple Inversa. Ejemplo de Reducción a la Unidad

Por lo tanto, yendo a 12km/h tardarías 5 minutos

Regla de tres (R3):

Paso 1. Escribes los datos en una tabla cuyas columnas son las magnitudes “velocidad” y “tiempo”: Proporcionalidad Simple Inversa. Regla de 3. El primer paso es colocar los datos en una tabla

Paso 2. Escribes la proporción que relaciona los datos teniendo en cuenta que cuando la relación es inversa debes intercambiar el orden de los datos de una de las razones respecto a cómo aparecen en la tabla:: Proporcionalidad Simple Inversa. Regla de 3. El segundo paso es escribir la proporción a partir de los datos de la tabla del paso 1 dándole la vuelta a una de las columnas

Paso 3. Por último, resuelves la proporción haciendo productos cruzados y posteriormente despejando la incógnita:: Proporcionalidad Simple Inversa. Regla de 3. El tercer paso es resolver la proporción del paso 2 haciendo productos cruzados y posteriormente despejando la x

Así pues, yendo a 12km/h tardarías 5 minutos

Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad simple

Proporcionalidad simple. Problema 1

Con 20Kg de harina se hacen 30kg de pan.

¿Cuántos kilos de pan se podrán hacer con 180kg de harina?

(Resolver por reducción a la unidad RU)

Proporcionalidad simple. Problema 2

Una moto consume 8 litros de súper cada cien kilómetros.

a) ¿Cuánta gasolina consume después de recorrer 250 Km?

b) ¿Qué distancia recorre con 14litros?

(Resolver por regla de tres R3)

Proporcionalidad simple. Problema 3

Si 10 hombres hacen un trabajo en 9 días, ¿cuánto tiempo tardarán 3 hombres?

(Resolver por regla de tres R3)

Proporcionalidad simple. Problema 4

Si 10 hombres hacen un trabajo en 9 días, ¿cuánto tiempo tardarán 3 hombres?

(Resolver por regla de tres R3)



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