Un poco de trigo y un tablero de ajedrez

Piezas de ajedrez

La leyenda

Cuenta la leyenda que el rey Shirham de la India le ofreció lo que quisiera a Sissa ben Dahir por haber creado el juego del ajedrez.

Tras pensarlo detenidamente, Sissa cogió el tablero de ajedrez y le contestó lo siguiente:

«Majestad, estaría agradecido si me diera un grano de trigo por la primera casilla, dos granos de trigos por la segunda casilla, cuatro granos de trigo por la tercera casilla, 8 granos de trigo por la cuarta casilla, y así sucesivamente hasta completar el tablero.»

El rey, no daba crédito por tan ridícula recompensa sintiéndose ofendido por creer que Sissa subestimaba su riqueza.

Inmediatamente mandó a los matemáticos de la corte que calcularan la cantidad de trigo a entregar.

Cual fue su sorpresa cuando vio que tardaban mucho más de lo esperado y Sissa no recibía su saco de trigo.

Fue entonces cuando mandó llamar al más sabio de los matemáticos para ver qué ocurría y, tras una semana de cálculos, este le contestó que la cantidad de trigo a entregar superaba con creces las riquezas de todo el reino.

El rey Shirham, teniendo que cumplir con su palabra le entregó el reino convirtiéndose Sissa en el nuevo rey.

Explicación matemática

Para entender cómo el rey perdió su fortuna y su reino, necesitas hacer uso de las matemáticas.

Un tablero de ajedrez tiene 64 casillas, si listamos los granos que debe haber en cada casilla tenemos 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …Como puedes observar, es una progresión geométrica cuyo primer término vale a1=1 y de razón r=2.

Cada uno de los términos puede ser escrito como una potencia de 2:

20, 21, 22, 23, 24, … y así hasta 263.

Para calcular la cantidad total de los granos de trigo basta con calcular la suma de los primeros 64 términos (un término por casilla del tablero) de la progresión geométrica anteriormente descrita:

Suma de los 64 primeros términos de la progresión geométrica de razón 2 y primer término 1

¡Eso son más de 18 trillones de granos de trigo!

Según agrovoz, 100 semillas de trigo pesan entre 30 y 40 gramos luego los más de 18 trillones de trigo pesan entre 553.402.322.211 (18.446.744.073.709.551.615:1000·30:1000000) y 737.869.762.948 (18.446.744.073.709.551.615:1000·40:1000000) toneladas.

La producción total del 2017 fue de 771.718.579 toneladas de trigo según la FAO; es decir, se necesitarían unas mil producciones como las del año 2017 a nivel mundial para que el rey Shirham saldara su deuda con Sissa.

¿Podrías calcular la cantidad que habría que entregarle a Sissa si el tablero de ajedrez fuera de 5×5?

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